最近大半年在好几个方向上接触到了群论相关的知识，这两周稍微了解了一下(抽象代数的概念实在是又多又复杂 🥲 )，用自己能够尽量理解的方式，总结了一些概念算作后续学习的一个 cheatsheet 吧。
感兴趣推荐直接看这个视频: 史上最好的群论入门 只有三十分钟，内容精炼，比文本好理解很多。另外也可以看下东南大学李逸老师编的基本分析讲义教材(在研究成果页面 Textbooks 可下载)，集合论相关的东西参考了很多。
集合与映射基础
笛卡尔积(cartesian produce)
设 $$ A $$ 和 $$ B $$ 为两个给定的集合，定义其 Cartesian 乘积为:
:p[$$ A \times B = \left { (a, b) | a \in A \space\And\space b \in B \right } $$]{.center}
如设 $$ A = \left { a, b \right }, B = \left { i,j,k \right } $$ 则有 $$ A \times B = {(a,i),(b,i),(a,j),(b,j),(a,k),(b,k)} $$
其中 $$ (a, b) $$ 表示 $$ a $$ 和 $$ b $$ 的 有序对(ordered pair) 定义为 $$ (a, b) = \left { \left { a \right }, \left { a, b \right } \right } $$ 这种表示方式中第一个元素 $$ \left { a \right } $$ 表示有序对的第一个元素是 $$ a $$ 第二个元素 $$ \left { a,b \right } $$ 表示元素之间的顺序，参考 Kuratowski's definition 和 ZFC 集合公理化。其中 $$ a $$ 称为有序对的第一坐标 $$ b $$ 称为有序对的第二坐标，当 $$ a = b $$ 时 $$ (a, b) = \left { \left { a \right } \right } $$ 对于 $$ x = (a, b) $$ 定义投影映射 $$ pr_{1}(x) = a,\space pr_{2}(x) = b $$
映射(map)
设 $$ C $$ 和 $$ D $$ 是两个给定的集合，赋值法则 $$ R $$ 指的是满足以下条件的 $$ C \times D $$ 的子集
:p[$$ (c,d) \in R \space\And\space (c,d{}') \in R \Longrightarrow d=d{}' $$]{.center}
定义赋值法则 $$ R $$ 定义域(domain) 和 像域(image set) 为:
:p[$$ Dom(R) := { c \in C | \exists\space d \in D \text{ s.t. } (c,d) \in R} $$]{.center}:p[$$ Im(R) := { d \in D | \exists\space c \in C \text{ s.t. } (c,d) \in R} $$]{.center}
一个映射 $$ f $$ 是一个二元对 $$ (R, B) $$ 其中 $$ R $$ 是赋值法则，$$ B $$ 是一个集合(称为 $$ f $$ 的值域(range)) 满足 $$ Im(R) \subseteq B $$ 定义:
- $$ f $$ 的定义域 $$ Dom(f) := Dom(R) $$
- $$ f $$ 的像域 $$ Im(f) := Im(R) $$
- 引入记号 $$ f: A \longrightarrow B, a \longmapsto f(a) $$ 其中 $$ A $$ 和 $$ B $$ 分别是 $$ f $$ 的定义域和值域，因此有 $$ Im(f) \subseteq B $$ 且 $$ f(a) $$ 是 $$ B $$ 中满足 $$ (a, f(a)) \in R $$ 的唯一元素
- 定义图 $$ graph(f) := {(a,b) \in A \times B|b = f(a) } = {(a, f(a))|a \in A} \subseteq A \times B $$
各种映射类型
称 $$ 1_{A} = A \longrightarrow A, a \longmapsto a $$ 为恒等映射(identity mapping)
称 $$ f: A \longrightarrow B, a \longmapsto b $$ 其中 $$ b $$ 是常数为常值映射(constang mapping)
对任意给定 $$ A $$ 的子集 $$ A_{0} $$ 定义 $$ f $$ 在 $$ A_{0} $$ 上限制(restriction) 为映射 $$ f|{A{0}} = f: A_{0} \longrightarrow B $$
定义 $$ f $$ 和 $$ g $$ 的 复合(composition) 为 $$ f \circ g = A \longrightarrow C, a \longmapsto c $$ 但仅当 $$ Im(f) \subseteq Dom(g) $$ 时 $$ f \circ g $$ 才有意义
若 $$ f(a) = f(a{}') \Longrightarrow a = a{}' $$ 则 $$ f $$ 是单射(injective)
若 $$ \forall \space b \in B, \exists \space a \in A \text{ s.t. } f(a) = b $$ 则 $$ f $$ 是满射(surjective)
若 $$ f $$ 即是单射又是满射则称 $$ f $$ 是双射(bijective)
若 $$ f $$ 是双射定义其 逆映射(inverse) 为 $$ f_{}^{-1}: B \longrightarrow A $$ 且 $$ f_{}^{-1}(b) = a \Longleftrightarrow f(a) = b $$
给定映射 $$ f: A \longrightarrow B $$ 如果存在映射 $$ g: B \longrightarrow A $$ 使得 $$ g \circ f = 1|_{A} $$ 即 $$ f(f(a)) = a $$ 对任何 $$ a \in A $$ 成立则 $$ f $$ 必是单射
给定映射 $$ f: A \longrightarrow B $$ 如果存在 $$ f $$ 的左逆(left inverse) $$ g: B \longrightarrow A $$ (即 $$ g(f(a)) = a $$ 对所有 $$ a \in A $$ 成立) 和 $$ f $$ 的右逆(right inverse) $$ h: B \longrightarrow A $$ (即 $$ f(h(b)) = b $$ 对所有的 $$ b \in B $$ 成立)，则 $$ g = h = f_{}^{-1} $$
如果在映射定义 $$ (R, B) $$ 中 $$ B $$ 是一个数域则称这种映射为函数
等势(equinumerous)
如果在集合 $$ A $$ 和 $$ B $$ 之间存在双射 $$ f: A \rightarrow B $$,称这两个集合等势，记作 $$ A \sim B $$
群基础定义
定义满足以下条件的二元组 $$(G, \circ)$$ 为一个群:
- 群的元素属于一个集合 $$ G $$
- 群内元素包含一个二元操作 $$ \circ $$
- 封闭性(closed under operation): 对于 $$ x, y \in G, x \circ y \in G $$
- 恒等元(identity): 存在元素 $$ e \in G, e \circ x = x \circ e = x $$
- 逆(inverse): 对于任意 $$ x \in G $$ 存在元素 $$ x_{}^{-1} \in G, x \circ x_{}^{-1} = e $$
- 结合律(associativity): $$ (x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z) $$
群的元素的数量称为群的阶数用 $$ \left | G \right | $$ 表示，只包含一个元素 $$ e $$ 的群 $$ \left | G \right | = 1 $$ 称为平凡群(trivial group)
阿贝尔群(abelian group)
若对于群 $$ (A, \circ) $$ 中的所有元素 $$ a, b \in A $$ 都满足 $$ a \circ b = b \circ a $$ 即交换律则称 $$ (A, \circ) $$ 为阿贝尔群或者交换群，反之则称为非阿贝尔群或者非交换群。
循环群(cyclic group)
设 $$ (G, \circ) $$ 为一个群，若存在元素 $$ g \in G $$ 使得 $$ G = \left { g_{}^{k} | k \in \mathbb{Z} \right } $$ 则称 $$ (G, \circ) $$ 形成一个循环群，其中元素 $$ g $$ 称为群的生成元记作 $$ G = \left \langle g \right \rangle $$ 群 $$ G $$ 内任意一个元素所生成的群都是循环群，且是 $$ G $$ 的子群。
例如 $$ (\mathbb{Z}, +) = \left \langle 1 \right \rangle $$ 是一个循环群。
子群(subgroup)
如果 $$ H $$ 是群 $$(G, \circ)$$ 中集合 G 的一个非空子集且 $$(H, \circ)$$ 也构成一个群，则称 $$(H, \circ)$$ 为 $$(G, \circ)$$ 的子群，省略二元操作符，记作 $$ H \le G $$ 如果 $$ H \ne G $$ 则称 $$ H $$ 为 $$ G $$ 的真子群记作 $$ H \lt G $$
所有的 $$ G $$ 都包含两个子群: 仅有恒等元 $$ e $$ 构成的平凡子群 $$ \left { e \right } $$ 及其自身 $$ G $$ 如果某个群 $$ G $$ 除了这两个子群以外没有其他的子群，则称其为单群(simple group)
拉格朗日定理(Lagrange's Theorem): 如果 $$ H \le G $$ 则 G 的阶数 $$ \left | G \right | $$ 一定可以被 H 的阶数整除即:
$$ H \le G \Rightarrow \left | G \right | \space divides \space \left | H \right | $$
假设有一个群 $$ \left | G \right | = 35 $$ 则通过拉格朗日定理可知对于 $$ G $$ 的子群 $$ H $$ 一定有 $$ \left | H \right | = 1,5,7,35 $$
共轭子群(conjugate group)
对于群中的元素 $$ g \in G $$ 称 $$ aga_{}^{-1} $$ 为 $$ g $$ 在 $$ G $$ 中的共轭元。
或者说,对于群 $$ G $$ 中共轭的两个元素 $$ a, b $$ 必定存在 $$ g \in G $$ 使得 $$ gag_{}^{-1} = b $$
若 $$ H $$ 是 $$ G $$ 的子群且 $$ a \in G $$ 则 $$ aHa_{}^{-1} = \left { aha_{}^{-1}|\space h \in H \right } $$ 是 $$ G $$ 的子群，称为 $$ H $$ 关于 $$ G $$ 的共轭子群。
陪集(coset)
若 $$ H $$ 是 $$ G $$ 的子群且 $$ g \in G $$
- 称 $$ gH = \left { gh, \space h \in G \right } $$ 为 $$ H $$ 在 $$ G $$ 中的左陪集(Left Coset)
- 称 $$ Hg = \left { hg, \space h \in G \right } $$ 为 $$ H $$ 在 $$ G $$ 中的右陪集(Right Coset)
注意陪集不一定是群，比如其不一定包含恒等元 $$ e $$
正规子群(normal subgroup)
正规子群的定义有多种方式，若 $$ (N, \circ) $$ 是 $$ (G, \circ) $$ 的子群
- 若 $$ \forall g \in G,\space gNg_{}^{-1} = N $$ 称 $$ N $$ 是 $$ G $$ 的正规子群
- 若 $$ \forall g \in G, gH = Hg $$ 称 $$ N $$ 是 $$ G $$ 的正规子群
- 若 $$ N $$ 在 $$ G $$ 中的左陪集的集合和右陪集的集合是一致的，则称 $$ N $$ 是 $$ G $$ 的正规子群
- 若 $$ N $$ 的所有共轭子群等于 $$ N $$ 则称 $$ N $$ 是 $$ G $$ 的正规子群
$$ N $$ 是 $$ G $$ 的正规子群记作 $$ N \lhd G $$ 或者 $$ G \rhd N $$
任意群 $$ G $$ 的两个平凡子群 $$ \left { e \right } $$ 和 $$ G $$ 都是 $$ G $$ 的正规子群，也称作平凡正规子群。
对于 $$ G $$ 中的任意元素 $$ g $$ 都可以在子群 $$ G{'} $$ 中找到一个元素 $$ g{'} $$ 和原群 $$ G $$ 中的一个元素 $$ x \in G $$ 使得 $$ g = g{'} \circ x $$
例如给定一个群 $$ G = ({1,2,3,4,5,6}, a \circ b = a*b\mod{6})$$ 及其子群 $$ G = ({1,3}, \circ) $$
则对于原群中的每个元素都可以表示为 $$ 1 = 1 \circ 1, 2 = 1 \circ 2, 3 = 3 \circ 1, 4 = 3 \circ 2, 5 = 1 \circ 5, 6 = 3 \circ 5 $$
整数加法群的正规子群是 $$ {2n, n \in \mathbb{Z} } $$
正规子群可以形象地理解为一个在群中具有特殊的性质的子群，它在群中的运算与子群中的运算是等价的(?)。直觉上正规子群可以看作能够单位群，通过正规子群可以构造出整个群。
商群(factor group)
设群 $$ (G, \circ) $$ 有正规子群 $$ (N, \circ) $$ 对于 $$ a, b \in G $$ 定义陪集运算 $$ (a \circ N) \diamond (b \circ N) = \left { a \circ b \circ n|n \in N \right } $$
则定义 $$ N $$ 的陪集在该运算下构成的群为商群，记作 $$ G / N = (\left { aN| a \in G \right } , \diamond) $$
如所有正整数和加法运算构成一个群 $$ (\mathbb{Z}, +) $$ 这个群有无数个子群 $$ 2\mathbb{Z},3\mathbb{Z},... $$ 观察 $$ 5\mathbb{Z} $$ 其将 $$ \mathbb{Z} $$ 分割成一个子群(也可以看作陪集)和四个陪集:
- 子群: $$ 5\mathbb{Z} = \left { ...,-5,0,5,10,... \right } $$
- 陪集: $$ 1 + 5\mathbb{Z} = \left { ...,-4,1,6,11,... \right } $$
- 陪集: $$ 2 + 5\mathbb{Z} = \left { ...,-3,2,7,12,... \right } $$
- 陪集: $$ 3 + 5\mathbb{Z} = \left { ...,-2,3,8,13,... \right } $$
- 陪集: $$ 4 + 5\mathbb{Z} = \left { ...,-1,4,9,14,... \right } $$
则这五个陪集可以组成一个新的群(陪集群)称为商群记作 $$ \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} $$
注意事项：
- 商群 $$ G/N $$ 并非 $$ G $$ 的子群
- 陪集并不总能形成一个群
- 陪集群(商群) $$ G/N $$ 的恒等元(identity)为 $$ N $$
商群指的是将群中的某些元素 $$ a \in G, b \in G_{0} $$ 合并成同一个元素(这个元素本身是一个集合) $$ {a, b} \in G_{n} $$
商群的元素是原群的元素的等价类，等价关系是指两个元素在群中的运算结果是相等的。
直觉上商群是将正规子群 $$ N $$ 看作单位元后构成的群
群同态(group homomorphism)
给定两个群 $$ (G, \ast) $$ 和 $$ (H, \odot) $$ 若存在函数 $$ h $$ 使得对于所有 $$ G $$ 中的 $$ u,v $$ 有 $$ h(u \ast v) = h(u) \odot h(v) $$ 则称 $$ (G, \ast) $$ 到 $$ (H, \odot) $$ 的群同态
同态核(kernel of homomorphism)
设 $$ G_{1},G_{2} $$ 是群 $$ f: G_{1} \rightarrow G_{2} $$ 是同态映射，定义集合 $$ ker f = {x| x \in G_{1}\space\And\space f(x) = e_{2}} $$ 其中 $$ e_{2} $$ 是群 $$ G_{2} $$ 的单位元素称 $$ ker f $$ 为同态核 且 $$ ker f $$ 是 $$ G_{1} $$ 的正规子群:
- 非空: $$ G_{1} $$ 的单位元素必在 $$ ker f $$ 中
- 子群: $$ \forall a, b \in ker f, f(a) = f(b) = e_{2} $$ 则 $$ f(a \ast b_{}^{-1}) = f(a) \ast f(b){}^{-1} = e{2} $$
- 正规子群: $$ \forall a \in ker f, x \in G $$ 由于 $$ f(a) = e_{2} $$ 有 $$ f(x \ast a \ast x_{}^{-1}) = f(x) \ast f(a) \ast f(x){}^{-1} = e{2} $$ 即 $$ g \ast a \ast g_{}^{-1} \in ker f $$
同态基本定理
假设 $$ G, G_{}^{'} $$ 是群，$$ f: G \rightarrow G_{}^{'} $$ 是满同态映射则 $$ G/ker f \cong G_{}^{'} $$
群同构(group isomorphism)
给定两个群 $$ (G, \ast) $$ 和 $$ (H, \odot) $$ 若存在双射函数 $$ f: G \rightarrow H $$ 使得对所有 $$ G $$ 中的 $$ u, v $$ 有 $$ f(u \ast v) = f(u) \odot f(v) $$ 则称群 $$ (G, \ast) $$ 和 $$ (H, \odot) $$ 同构。
例如实数加法群 $$ (\mathbb{R}, +) $$ 通过 $$ f(x) = e_{}^{x} $$ 同构于正实数乘法群 $$ (\mathbb{R}_{}^{+}, \ast) $$
半群(Semigroup)
定义集合 $$ S $$ 和其上的二元运算 $$ \cdot : S \times S \rightarrow S $$ 若运算 $$ \cdot $$ 满足结合律即对于 $$ \forall x,y,z \in S $$ 有 $$ (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) $$ 则称有序对 $$ (S, \cdot) $$ 为半群
例如正整数和加法构成半群
幺半群(Monoid)
对于集合 $$ M $$ 和其上的二元运算 $$ \ast: M \times M \rightarrow M $$ 如果满足:
- 结合律: $$ \forall a,b,c \in M, (a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c) $$
- 单位元: $$ \exists e \in M, \forall a \in M, e \ast a = a \ast e $$
- 封闭性: $$ \forall a,b \in M, a \ast b \in M $$
则称 $$ (M, \ast) $$ 为幺半群，相对于群幺半群少了逆元素(reverse)的要求，相对于半群，幺半群多了单位元
变换群(transformation group)
对于非空集合 $$ A $$ 称 $$ f: A \rightarrow A $$ 为 $$ A $$ 上的一个变换，变换乘法即函数复合运算 $$ h(x) = g(f(x)) $$
当映射 $$ f $$ 是双射(单射+满射)时称这种变换为一一变换，下称双射变换便于理解，称集合 $$ A $$ 上的一一变换关于交换乘法构成的群为变换群
非空集合上的所有双射变换构成群
- 封闭性: 双射的复合仍然是双射
- 结合律: $$ (f \circ g) \circ h = f(g(x)) \circ h = f(g(h(x))) = f \circ g(h(x)) = f \circ (g \circ h) $$
- 单位元: 存在单位元 $$ e: f(x) = x $$ 对于任意变换 $$ g $$ 满足 $$ f \circ g = g \circ f $$
- 逆元素: 对于任意双射 $$ g $$ 必存在反函数 $$ g_{}^{-1} $$ 即逆元素
变换群举例
设集合 $$ G = {f_{a,b}\space|\space f_{a,b}(x) = ax + b\space (a, b \in \mathbb{R}, a \ne 0)} $$ 则 $$ (G, \circ) $$ 构成(变换)群
置换(permutation)
定义有限集合 $$ S $$ 上的双射 $$ \sigma: S \rightarrow S $$ 为 $$ S $$ 上的 $$ n $$ 元置换，记作:
其中 $$ \sigma(1), \sigma(2), .. \sigma(n) $$ 是 $$ 1,2,..,n $$ 的不同排列，每种置换都相当于是一种排列方式
设 $$ i_{1}i_{2}..i_{n} $$ 是 $$ 1,2,..,n $$ 的一种排列对任意的 $$ i,j $$ 若 $$ i_{j} > i_{k} $$ 且 $$ j < k $$ 则称 $$ i_{j}i_{k} $$ 为一个逆序，一个排列中的逆序总个数称为该排列的逆序数
轮换
设 $$ \sigma $$ 是 $$ S = {1,2,..,n} $$ 上的 n 元置换，若:
$$ \sigma(i_{1}) = i_{2},\sigma(i_{2}) = i_{3},..,\sigma(i_{k-1}) = i_{k},\sigma(i_{k}) = i_{1} $$
且:
$$ \forall x \in S, x \ne i_{j} (j = 1,2,..,k), \sigma(x) = x $$
(这一步的意思是 $$ i_{j} $$ 和 $$ i_{k+j} $$ 等价)
则称 $$ \sigma $$ 为 $$ S $$ 上的 $$ k $$ 阶轮换，当 $$ k = 2 $$ 时也称为对换，记作 $$ (i_{1},i_{2},..,i_{k}) $$
不相交轮换相乘
对于 $$ S_{n} $$ 中的两个轮换 $$ \sigma = (i_{1},i_{2},..,i_{k}) $$ 和 $$ \tau = (j_{1},j_{2},..,j_{s}) $$ 如果 $$ {i_{1},i_{2},..,i_{k}} \cap {j_{1},j_{2},..,j_{s}} = \phi $$ 则称 $$ \sigma $$ 和 $$ \tau $$ 不相交，如果 $$ \sigma $$ 和 $$ \tau $$ 不相交则 $$ \sigma\tau = \tau\sigma $$
推论:
- 任意 n 元置换 $$ \sigma $$ 都可以表示成一组互不相交的轮换的乘积
- $$ k(k > 1) $$ 阶轮换 $$ \sigma = (i_{1} i_{2} .. i_{k}) $$ 可以表示成 $$ k-1 $$ 个对换的乘积即 $$ (i_{1}i_{2})..(i_{1}i_{k-1})(i_{1}i_{k}) $$ 的形式
- $$ \sigma $$ 是 $$ S $$ 上的一个置换 $$ \sigma(j) = a_{j} (j = 1,2,...n) $$ 则 $$ \sigma $$ 的任意对换表示中的对换个数与排列 $$ a_{1},a_{2},..,a_{n} $$ 的逆序数同奇偶性
置换群
有限集合 $$ S $$ 上的所有置换一定构成群称为对称群，记作 $$ S_{n} $$ 其中 $$ n $$ 是 $$ S $$ 的阶数。
$$ S_{n} $$ 的任意子集若构成群，则是置换群，置换群是变换群的特例，对称群是置换群的特例。
$$ S_{n} $$ 的所有偶置换构成子群，称为交错群
基于已有群构建变换群
对于群 $$ (G, \ast) $$ 中的任意元素 $$ a \in G $$ 定义:
$$ \tau_{a}: G \rightarrow G, \forall x \in G, \tau_{a}(x) = x \ast a $$
则 $$ \tau_{a} $$ 是一一(双射)变换:
- 满射: 对任意的 $$ b \in G $$ 方程 $$ x \ast a = b $$ 有唯一解
- 单射: 若 $$ x \ast a = y \ast a \Rightarrow x = y $$ 两边同时乘上 $$ a_{}^{-1} $$
记 $$ G_{}^{'} = {\tau_{a}|a \in G} $$ 显然 $$ G_{}^{'} $$ 可以构成变换群
Cayley 定理
任意的群 $$ G $$ 和一个变换群同构。定义 $$ \varphi: G \rightarrow G_{}^{'}, \forall a \in G, \varphi(a) = \tau_{a} $$ 则 $$ \varphi $$ 是同构映射。
$$ \varphi(a \ast b) = \tau_{a \ast b} $$
$$ \forall x \in G, \varphi(a \ast b)(x) = \tau_{a \ast b}(x) = x \ast (a \ast b) = (x \ast a) \ast b = \tau_{b}(\tau_{a}(x)) $$
$$ \varphi(a \ast b) = \tau_{a} \circ \tau_{b} = \varphi(a) \circ \varphi(b) $$
环(ring)
环由一个集合 $$ R $$ 及其上的两个二元运算 $$ + $$ (加法)和 $$ \cdot $$ (乘法)组成，且满足以下条件:
- $$ (R, +) $$ 构成阿贝尔群(交换群)
- $$ (R, \cdot) $$ 构成半群
- 乘法对于加法满足分配律即 $$ \forall a,b,c \in R $$
- $$ a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) $$
- $$ (a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c) $$
