kanes: "在量子比特实验中，门操作是量子计算的基础，类似于经典计算中的逻辑门，但操作的是量子比特的叠加态和纠缠态。量子门用酉矩阵表"

kanes·12 days ago

在量子比特实验中，门操作是量子计算的基础，类似于经典计算中的逻辑门，但操作的是量子比特的叠加态和纠缠态。量子门用酉矩阵表示，其特点是可逆性，即可以从输出状态推导出输入状态。

常见的量子门操作可以分为两大类：单量子比特门和多量子比特门。

一、单量子比特门 (Single-Qubit Gates)

这些门操作单个量子比特，相当于在布洛赫球（Bloch Sphere）上对量子比特的状态向量进行旋转。布洛赫球是一个单位球体，其表面上的点代表了所有可能的单量子比特纯态。$|0\rangle$ 态通常位于北极，而 $|1\rangle$ 态位于南极。

Hadamard (H) 门
- 作用： 将基态（如 $|0\rangle$ 或 $|1\rangle$）转换为等概率的叠加态。
  - $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$
  - $H|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle - |1\rangle)$
- 矩阵表示：
  
  $$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix}$$
- 布洛赫球上的作用： 将Z轴上的状态（$|0\rangle$ 或 $|1\rangle$）旋转到X轴上，或者将X轴上的状态旋转到Z轴上。它相当于绕着X轴和Z轴的平均轴（即X-Z平面上的一个特定轴）旋转 $\pi$ 弧度。
- 重要性： H门是创建量子叠加态的关键门，是量子算法（如Grover搜索算法和Shor分解算法）的起点，因为它能使量子比特同时探索多种可能性。
Pauli-X (X) 门 / NOT 门
- 作用： 翻转量子比特的基态，类似于经典计算机中的NOT门。
  - $X|0\rangle = |1\rangle$
  - $X|1\rangle = |0\rangle$
- 矩阵表示：
  
  $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
- 布洛赫球上的作用： 绕X轴旋转 $\pi$ 弧度。
- 重要性： 用于改变量子比特的计算基态。
Pauli-Y (Y) 门
- 作用： 翻转量子比特的基态，并引入一个全局相位因子 $i$ 或 $-i$。
  - $Y|0\rangle = i|1\rangle$
  - $Y|1\rangle = -i|0\rangle$
- 矩阵表示：
  $$Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \ i & 0 \end{pmatrix}$$
- 布洛赫球上的作用： 绕Y轴旋转 $\pi$ 弧度。
- 重要性： 尽管引入了相位，但在测量时概率不变，它主要在某些需要特定相位旋转的量子算法中发挥作用。
Pauli-Z (Z) 门
- 作用： 在不改变基态测量概率的情况下，给 $|1\rangle$ 态引入一个 $\pi$ 相位。
  - $Z|0\rangle = |0\rangle$
  - $Z|1\rangle = -|1\rangle$
- 矩阵表示：
  
  $$Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}$$
- 布洛赫球上的作用： 绕Z轴旋转 $\pi$ 弧度。
- 重要性： Z门改变了量子比特的相对相位，这对于构建纠缠态和执行干涉操作至关重要。
T 门 (Phase Shift Gate P($\pi/4$))
- 作用： 给 $|1\rangle$ 态引入一个 $\pi/4$ 的相位。
  - $T|0\rangle = |0\rangle$
  - $T|1\rangle = e^{i\pi/4}|1\rangle$
- 矩阵表示：
  
  $$T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix}$$
- 布洛赫球上的作用： 绕Z轴旋转 $\pi/4$ 弧度。
- 重要性： T门（以及更一般的相位门）是实现“非Clifford”操作的关键，它使得量子计算机能够执行任意复杂的酉变换。
S 门 (Phase Shift Gate P($\pi/2$))
- 作用： 给 $|1\rangle$ 态引入一个 $\pi/2$ 的相位。
  - $S|0\rangle = |0\rangle$
  - $S|1\rangle = i|1\rangle$
- 矩阵表示：
  
  $$S = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & i \end{pmatrix}$$
- 布洛赫球上的作用： 绕Z轴旋转 $\pi/2$ 弧度。
- 重要性： S门是T门的平方（$S = T^2$），也是非Clifford门，用于实现更精细的相位控制。
Rx, Ry, Rz 门 (Rotation Gates)
- 作用： 这些是通用的旋转门，可以围绕布洛赫球的X、Y或Z轴进行任意角度 $\theta$ 的旋转。
  - $R_x(\theta)$： 绕X轴旋转 $\theta$ 弧度。
    
    $$R_x(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & -i\sin(\theta/2) \ -i\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{pmatrix}$$
  - $R_y(\theta)$： 绕Y轴旋转 $\theta$ 弧度。
    
    $$R_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2) \ \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{pmatrix}$$
  - $R_z(\theta)$： 绕Z轴旋转 $\theta$ 弧度。
    
    $$R_z(\theta) = \begin{pmatrix} e^{-i\theta/2} & 0 \ 0 & e^{i\theta/2} \end{pmatrix}$$
- 重要性： 都提供对量子比特状态的精细控制，可以实现任何单量子比特的酉变换。所有单量子比特门都可以通过这些旋转门的组合来近似或精确表示。
U1, U2, U3 门 (Universal Single-Qubit Gates)
- 作用： 一组更通用的单量子比特门，可以通过三个欧拉角来参数化表示任何单量子比特酉变换。U3是最通用的，U1和U2是它的简化形式。
- 重要性： 理论上可以生成任何单量子比特操作的数学表示。

二、多量子比特门 (Multi-Qubit Gates)

这些门操作两个或多个量子比特，是实现量子纠缠和复杂量子算法的核心。

CNOT (Controlled-NOT / CX) 门
- 作用： 具有一个控制比特和一个目标比特。当且仅当控制比特处于 $|1\rangle$ 态时，目标比特才执行NOT操作（即翻转）。
  - $|00\rangle \to |00\rangle$
  - $|01\rangle \to |01\rangle$
  - $|10\rangle \to |11\rangle$
  - $|11\rangle \to |10\rangle$
- 矩阵表示：
  
  $$CNOT = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
  
  （假设量子比特排列顺序为 $|q_1 q_0\rangle$，其中 $q_1$ 为控制比特， $q_0$ 为目标比特）
- 重要性： CNOT门是量子计算中最重要的双比特门之一，因为其能够产生量子纠缠。纠缠是许多量子算法（如量子隐形传态和量子密钥分发）的基础。
CZ (Controlled-Z) 门
- 作用： 具有一个控制比特和一个目标比特。当且仅当两个量子比特都处于 $|1\rangle$ 态时，目标比特才引入一个 $\pi$ 相位（Z操作）。
  - $|00\rangle \to |00\rangle$
  - $|01\rangle \to |01\rangle$
  - $10\rangle \to |10\rangle$
  - $|11\rangle \to -|11\rangle$
- 矩阵表示：
  
  $$CZ = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$
- 重要性： CZ门也能产生纠缠，并且在某些物理实现中可能比CNOT门更容易实现。CNOT门和CZ门可以通过单比特门的组合相互转换。
SWAP 门
- 作用： 交换两个量子比特的状态。
  - $|00\rangle \to |00\rangle$
  - $|01\rangle \to |10\rangle$
  - $|10\rangle \to |01\rangle$
  - $|11\rangle \to |11\rangle$
- 矩阵表示：
  
  $$SWAP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
- 重要性： 在物理硬件中，由于量子比特之间通常只有邻近连接才能直接进行操作，SWAP门在将相隔较远的量子比特“移动”到可以相互作用的位置时非常有用。其可以通过三个CNOT门的序列来实现。
Toffoli (CCNOT / CCX) 门
- 作用： 一个三量子比特门，有两个控制比特和一个目标比特。只有当两个控制比特都处于 $|1\rangle$ 态时，才对目标比特执行NOT操作。
- 重要性： Toffoli门是经典的通用逻辑门，可以构建任何经典的布尔函数。在量子计算中，Toffoli门与Hadamard门一起构成一个通用的量子门集，可以用来近似实现任何量子算法。